필수정보

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“수학적 질서가 지배하는 세계에서
최선에 대한 갈망이 있는 모든 사람을 위한 책”
_고등과학원 수학부 김상현 교수

급변하는 세상에서 변하지 않는 인간의 무기
수학은 틀리지 않는다

인류의 결정적 순간에는 늘 수학이 있었다. 오펜하이머의 원자폭탄 프로젝트부터 넷플릭스가 OTT의 제왕이 된 비결, 정보화사회의 중추였던 반도체의 발전과 엔비디아의 시작, 인류의 거대한 대전환이 되어준 챗GPT의 탄생까지, 급변하는 세상에서 수학은 언제나 인류에게 문제 해결의 실마리를 선사했다.

자연계와 인간 사회는 아무리 무질서해 보일지라도 언제나 어떤 수학적 질서를 따른다. 무작위라고 여겨지는 데이터조차 그렇다. 문명과 자연에서 나타나는 이 다양한 수학적 질서를 정확히 이해하고 해석할 수 있는 능력을 갖추지 못한다면 우리는 되돌릴 수 없는 실수를 저지를 수 있다.

이 책은 수학적 질서가 지배하는 세상에서 더 많은 사람이 수학의 힘을 깨닫고 활용했으면 하는 바람을 담아 수학·과학 콘텐츠 크리에이터 위니버스가 집필했다. AI 이미지로 콘텐츠를 생성하는 유튜버들 사이에서 직접 4K 이미지를 만들며 어려운 내용도 쉽게 전달하기 위해 노력하는 그답게 이 책에서도 다양한 이미지를 제시하며 현대 사회에서 쓸모 있는 수학만 골라 차근차근 설명해간다. 수포자라도 이 책을 통해서라면 수학적 사고를 활용해 틀리지 않는 방향으로 나아갈 수 있을 것이다.

들어가며_어느 때보다 수학적 사고가 필요한 지금

1. 당신의 예측이 틀리는 이유

수박 속을 예측하다┃예측의 배신┃예측의 기본┃독버섯 판별하는 법┃수박에서 데이터로┃니콜라스 케이지의 수영장
한 걸음 더 + 결측, 데이터가 누락되었을 때

2. 한 줄의 선으로 답을 찾는다

한눈에 파악하기┃직선으로 예측하는 세계┃회귀분석의 설득력┃직관만으로 설명되지 않는 것┃같은 온도, 다른 느낌┃너무 다양한 다이아몬드┃모든 영향력을 고려하라
한 걸음 더 + ① 최소제곱법, 예측의 오차를 줄여라
한 걸음 더 + ② 척도, 숫자 속에 담긴 의미

3. 인공지능이 불러온 수학의 시대

거대한 전환┃인공지능의 뇌, 딥러닝┃딥러닝이 문제를 해결하는 법┃마법 탄환┃창의성을 다시 생각하다┃편견 알고리즘┃튜링 테스트의 한계┃인공일반지능, 공상인가 미래인가
한 걸음 더 + ① 설명 가능한 AI, 블랙박스를 파헤치다
한 걸음 더 + ② 경사하강법, 최적의 방향을 찾는 수학

4. 거인들은 조건부로 결정의 질을 높인다

치열한 탐색┃진리의 사각형과 사후확률┃하루 만에 전염병을 없애는 방법?┃전 국민을 진단키트로 검사하지 않는 이유┃IQ 228의 수난┃염소일까, 자동차일까?┃게으른 사회자의 전략┃OTT 전쟁에서 승리하는 법┃수학은 어떻게 당신의 취향을 파악하는가┃성공의 열쇠는 정보의 누적┃추천 알고리즘의 역설
한 걸음 더 + ① 빈도주의 대 베이즈주의, 수학이 불확실성을 다루는 방법
한 걸음 더 + ② 나이브 베이즈, 조건이 여러 개일 때의 사후확률

5. 미래가 오는 패턴을 파악하라

SKUs의 변화┃궁극의 연산기계┃진보의 속도┃지수란 무엇인가?┃오펜하이머가 놀란 이유┃팬데믹의 조건┃1보다 작을 것인가, 클 것인가┃무어의 법칙은 끝났는가┃AI를 ‘가속’하는 방법┃인체 감각의 전형적 패턴┃거인을 난쟁이로 만들기┃재규격화
한 걸음 더 + 상용로그, 천문학자의 수명을 늘려준 수학

6. 세상을 구하는 수학적 모델의 법칙

대체 언제 끝날까?┃변화를 모델링하다┃수학적 모델이 필요한 이유┃‘예측’ 모델의 진화┃정보와 질병의 공통점
한 걸음 더 + 황금망치, 모든 문제에 적용 가능한 모델이 있을까?

나가며_인생이라는 이름의 알고리즘

부록
부록1. 로지스틱 회귀분석
부록2. 파이썬 코드(몬티홀 문제)
부록3. 파이썬 코드(SIR 모델)

수학은 우리를 배신한 적이 없다
인간이 틀릴 뿐이다

인간보다 빠르게 계산하는 기계가 나온 지금, 왜 우리에게는 여전히 수학이 필요할까? 모두 컴퓨터에게 맡기면 안 되는 것일까? 수식과 숫자 뒤에 가려진 정확한 답을 읽는 것은 인간이다. 하지만 인간은 상황을 즉각적으로 인식하고 판단하는 놀라운 직관력을 갖고 있으면서도 때때로 그 직관이 논리와 이성을 배신하기 때문에 틀린 방향으로 나아갈 때가 있다. 컴퓨터의 계산 결과만 맹신하다가 마가린의 판매량이 이혼율에 매우 큰 영향을 끼친다는 결론을 의심 없이 받아들인다거나 자신이 만든 예측 모델의 잘못된 예측을 믿고 마케팅 예산을 써버릴 수 있다는 말이다. 수학적 지식이 뒷받침된다면 이러한 오류는 줄일 수 있다. 빠르고 정확하게 수학 계산을 한다거나 수식을 잘 만드는 것을 이야기하는 것이 아니다. 수학은 단순히 기호를 이용해 문제를 풀어 답을 내는 도구라기보다는, 어떤 문제와 현상을 잘 이해하고 예측하기 위해 모두에게 필요한 방법론이다.

“‘완벽한 답’은 존재하지만 실제로 찾을 수 없으며 모든 것이 매우 빠르게 변하는 지금은 완벽한 답이 나온 시점에 그 답이 더 이상 완벽하지 않을 가능성도 있습니다. 하지만 현실 세계의 복잡한 의사결정과 우리의 삶과 같은 중대한 문제들을 대충 해결해야 한다거나 운에 맡겨야만 한다는 뜻은 아닙니다. 오히려 ‘이러한 문제를 해결하기 위해 수학이 어떤 방법론을 사용하는가’를 말하고 싶습니다.”
_〈나가며. 인생이라는 이름의 알고리즘〉 중에서

수학의 시대
불확실한 미래에서 살아남는 6가지 수학

지금은 수학과 기술에 관심이 없는 사람들조차 AI, 머신러닝 같은 현대적이고 세련되어 보이는 수학적 기법에 열광하는 시대다. 이 책은 수학이라는 방대한 범위 속에서 유용한 수학만을 골라 6단계에 걸쳐 설명한다.

1단계: 당신의 예측이 틀리는 수학적 이유
우리의 예측은 왜 자주 틀리는가? 데이터는 변동성이 강하며 인간은 합리적으로 행동하지 않기 때문이다. 이러한 한계를 타파할 수학적 사고는 무엇인가?

2단계: 한 줄의 선으로 한눈에 파악하라
‘회귀분석’은 다소 오래되었지만 세상의 수많은 관계를 읽어내고 미래를 구체적으로 설득력 있게 전망한다는 점에서 그 어떤 도구보다 예측의 정수가 담긴 기법이다.

3단계: 인류의 새로운 지능, AI 비서를 활용하라
수학이 있어서 딥러닝이 탄생했고, 딥러닝이 있어서 인간의 연산 능력과 수학적 사고는 더 앞으로 나아갈 수 있었다. 이제 우리는 새로운 지능과 함께 나아가야 할 때다.

4단계: 진리의 사각형과 확률적 사고
모든 일에는 불확실성이 있다. 몬티홀 문제 같은 일상 문제를 해결하고 팬데믹과 OTT 전쟁에서 살아남기 위해서는 이러한 불확실성을 타파하고 확률적으로 사고할 줄 알아야 한다. 결국 성공의 열쇠는 정보의 누적에 있다.

5단계: 미래가 오는 패턴을 파악하라
복잡하고 급변하는 세상은 ‘지수적 패턴’으로 이해가 가능한 부분이 많다. 우리는 대개 지수적 패턴보다 선형적 패턴에 익숙하기 때문에 실수를 저지른다. 하지만 이러한 지수적 패턴을 이용해 변화의 최전선에 우뚝 선 사람들이 있다.

6단계: 쓸모 있는 모델을 설계하라
전염병부터 금융, 정보확산까지 현실을 잘 반영한 모델이야말로 불확실한 미래에서 살아남는 인간의 무기다. 단 예측 모델이 예측에 실패하지 않기 위한 조건은 분명히 알아야 한다.

위기는 반복되고 변화의 축은 정해져 있다
최소한의 수학으로 패턴을 파악하고 대응하라

이 책의 마지막 장에서는 수학적 모델의 범용성을 다룬다. 팬데믹 예측 모델로 유명한 SIR 모델만으로 ‘소문이 어떻게 마케팅 효과를 만들어내는지’ ‘정보가 한 기업의 주가 등락에 어떻게 영향을 끼치는지’ 예측 가능하다는 것을 보여주며 좋은 수학 모델이라면 하나의 현상을 설명하는 데 그치지 않고 다른 분야에 얼마든지 활용될 수 있음을 보여준다. 2020년 노벨물리학상을 수상한 로저 펜로즈는 이렇게 말했다. “자연을 이해하려면 가장 먼저 수학을 이해해야 한다.” 수학적 질서가 지배하는 세상에서 수학은 세상의 변화를 표현하고 파악하는 최소한의 도구다. 그리고 거인들은 그 도구를 이용해 변화의 최전선에서 미래를 만들어가고 있다. 누구나 수학의 눈으로 세상을 바라본다면 할 수 있는 일이다. 이 책을 통해서라면 어느새 세상을 수학의 언어로 바라보고 있는 자신을 발견하게 될 것이다.