필수정보

『매스매티카를 활용한 수학 물리 놀이하기』는 크게 점화식풀기, 방정식풀기, 미분방정식풀기, 다양한 물리수학코드, 다양한 함수기능 소개로 이뤄져 있다. 1권과 2권을 굳이 차례대로 읽을 필요없이 눈길이 가는 주제부터 읽고 모르는 함수기능이 있다면 함수기능 소개 부분을 병행하여 읽고 참조하면 되도록 책을 구성하였다. 그리고 이론을 소개하면서 그래픽을 추가하기도 했는데 일부는 알지오매스 툴로 제작하였다.

Ⅰ.점화식

1. 점화식의 이론적 해법
가. 선형동차 점화식
나. 비동차 점화식
2. 매스메티카로 점화식 풀기
가. 점화식 정의하기, 점화식 테이블로 나타내기
(1) 점화식을 정의하고 해를 테이블(리스트)로 나타내기
(2) 점화식의 해를 표를 통해 나타내기
나. 점화식 풀기(독립변수1, 종속변수1)
(1) 점화식의 특성방정식이 하나의 근을 가질 때
(2) 선형동차 점화식의 특성방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 때
(3) 선형동차 점화식의 특성방정식이 중근을 가질 때
(4) 선형비동차 점화식의 특성방정식이 서로 다른 두 근을 가질 때
다. 종속변수가 둘 이상인 연립 선형동차 점화식 풀기
(1) 연립 선형동차 점화식의 풀이방법
(2) 매스메티카로 문제 풀기
(가) 연립 점화식의 해를 구하고 표로 나타내기
(나) 연립 점화식의 해를 연속적인 그래프로 나타내기
(다) 연립 점화식의 해의 순서쌍들을 점으로 추이 표현하기
라. 피보나치수열과 유사 피보나치수열의 분석
(1) 피보나치수열
(2) 루카스수열

Ⅱ.방정식

1. 매스메티카로 방정식 풀기
가. 간단한 방정식 풀기
나. 변수가 두 개인 연립방정식 풀기
다. 부정방정식
(1) 부정방정식의 해를 있는대로 나타내기
(2) 한 문자를 다른 문자에 대한 식으로 표현하기
라. 방정식의 근사해 찾아내기
2. 초월함수 방정식의 근사해 찾아내기
가. 뉴턴의 방법을 활용한 근사해 찾기
나. 근사해의 정확도 판별하기
3. 두 쌍의 점을 지나는 직선의 교점 구하기
4. 포락선 구하기
가. 포물선 종이접기(포락선)
(1) 이론적 분석
(2) 코딩 통해 포락선 계산하기
나. 쌍곡선 스트링 아트(포락선)
(1) 이론적 분석
(2) 코딩 통해 포락선 계산하기
다. 타원 종이접기(포락선)
(1) 이론적 분석
(2) 코딩 통해 포락선 계산하기
라. 포물선 종이접기(포락선)
(1) 이론적 분석
(2) 코딩 통해 포락선 계산하기
마. 길이가 인 사다리의 미끄러짐(포락선)
(1) 이론적 분석
(2) 코딩 통해 포락선 계산하기

Ⅲ. 매스메티카로 다양한 프로그램 만들기

1. 직선 위의 두 물체의 충돌 동영상
2. 타원당구장
가. 타원당구장 코딩에 필요한 수학
나. 타원당구장의 코드
(1) 코드 파헤치기1(Sol)
(2) 코드 파헤치기2(Ellips함수)
(3) 코드 파헤치기3(Ellipsn함수)
(4) 포락선의 관찰과 증명
(가) 입사광선이 두 초점의 바깥쪽에서 출발하는 경우
(나) 입사광선이 두 초점 사이에서 출발하는 경우
3. 코흐 프랙탈
4. 이진트리 프랙탈
5. 시에르핀스키 삼각형
6. 카오스 게임
7. 수학적 확률과 통계적 확률
가. 순열을 활용한 줄 세우기의 확률
나. 중복순열을 활용한 윷 던지기의 확률
다. 교란의 확률로부터 자연상수 예측하기
(1) 교란에 대한 수학적 확률과 자연상수
(2) 교란의 통계적 확률과 자연상수 추정
(3) 교란의 통계적 확률과 자연상수의 근삿값 표로 나타내기
라. 몬테카를로 방법을 활용한 도형의 넓이
8. 최소제곱법
가. 최소제곱법의 이론
나. 최소제곱법을 활용한 최적해
(1) 네 점을 지나는 최적인 직선
(2) 네 점을 지나는 최적인 포물선
다. Fit함수를 활용한 최적해
라. FindFit함수를 활용한 최적해
9. 보간다항식
가. 라그랑지 보간다항식
나. 뉴턴 보간다항식
(1) 차분상의 성질
(가)의 차분상
(나) 의 차분상
(다) 의 차분상
(2) 보간다항식의 오차
(3) 재귀함수 코딩을 활용한 보간다항식 찾기
(4) Interpolation 함수를 활용한 보간다항식 찾기
(가) 세 점에 대한 이차함수 보간
(나) 여러 점에 대한 보간
(다) 소수(prime)에 대한 데이터를 보간
10. 룬지-쿠타 방법
가. 룬지-쿠타 방법의 이론
(1) 차 룬지-쿠타방법
(2) 차 룬지-쿠타방법
(가) 차 룬지-쿠타방법
(나) 차 룬지-쿠타 방법의 유도
(3) 차 룬지-쿠타 방법
(가) 차 룬지-쿠타 방법
(나) 매스메티카를 이용한 매개변수 구하기
(다) 차 룬지-쿠타 방법의 유도
(4) 차 룬지-쿠타 방법
(가) 차 룬지-쿠타 방법
(나) 매스메티카를 이용한 매개변수 구하기
나. 룬지-쿠타 방법을 활용한 근삿값 계산
11. 푸리에 급수
가. 함수의 주기에 따른 푸리에 급수
(1) 주기가 인 함수
(2) 주기가 인 함수
나. 푸리에 급수에서 자주 등장하는 특수함수
(1) 박스함수
(2) 계단함수
(3) 삼각형함수
(4) 부호함수
(5) 주기함수1
(6) 주기함수2
다. 매스메티카로 푸리에 급수 표현하기
(1) 주기가 인 우함수
(2) 주기가 인 함수
(3) 주기가 인 기함수
12. 푸리에 변환
가. 푸리에 변환의 이론
나. 푸리에 변환 테이블
다. 함수의 푸리에 변환 찾기
라. 디랙델타함수의 예시와 코딩
13. 감마함수
가. 감마함수의 이론
나. 감마함수의 값 계산하기
다. 감마함수의 그래프
14. 경사하강법
가. 미분가능한 함수의 최솟값 찾기
(1) 알고리즘
(2) 함수의 최솟값을 리스트로 나타내기
(3) 함수의 최솟값을 표와 화살표를 사용하여 나타내기
나. 최소제곱 직선 찾기
(1) 알고리즘
(2) 최소제곱 직선을 리스트로 나타내기
(3) 최소제곱 직선을 표와 화살표를 사용하여 찾기

Ⅳ. 매스메티카의 여러 함수 기능 익히기

1. 좌표계 변환
가. 스칼라 변환
나. 방정식 변환
다. 벡터 변환
2. 레벨 집합
3. 부등식의 영역
가. 부등식의 영역 그리기
나. 부등식을 만족하는 양함수 그래프 그리기
다. 부등식을 만족하는 레벨 집합 그리기
4. 반복문
가. Do
나. For
다. While
라. Until
5. 점들을 이어서 다각선 혹은 화살표로 나타내기
가. 리스트의 점들을 다각선으로 잇기
(1) 리스트별로 구분하여 다각선으로 잇기
(2) 리스트의 구분을 해제하고 다각선으로 잇기
나. 리스트의 점들을 화살표로 잇기
(1) 리스트별로 구분하여 화살표로 잇기
(2) 리스트의 구분을 해제하고 화살표로 잇기
6. 텍스트(Text)의 표현
10. 그래프의 동영상 만들기
가. 그래프의 동영상
(1) 기본방법
(2) 실시간 함수식 표기
(3) 실시간 동적변수 표기
(4) 동적변수의 증분 지정
(5) 동적변수의 값을 유한하게 지정
나. 함수와 변수를 직접 입력하는 그래프
다. 사인함수 위를 움직이는 점의 동영상
7. 함수와 변수의 축약 표현
가. 함수의 표현
나. 반복 합성함수의 계산
8. 함수의 매핑(mapping)
가. 다중 리스트에 대한 매핑
나. 축약표현 #,& 를 활용한 매핑
다. 다중 도형의 매핑
라. 매핑을 활용한 도형 그리기
9. 무작위 생성과 무작위 선택
가. 무작위 수 생성
나. 무작위 수 선택
다. 오름차순 및 내림차순 배열
라. 순열과 조합
마. 중복순열
10. 조건 부여하기
가. 조건 함수 정의하기
나. 조건 원소 세기

코로나-19로 인해 비대면 원격수업의 요청이 생기고 비슷한 시기에 창의적인 수학· 정보역량을 갖춘 인재를 육성하고자 하는 필요가 생기면서 많은 수학 교사들이 접하는 수학의 작도 및 코딩툴을 익혔습니다. 하지만 통상 학교 현장에서 통상 사용되는 애플리케이션은 제가 학부 시절 익힌 여러 가지 물리나 사회현상을 설명하는 비선형 미분방정식의 해를 자유롭게 해결하기에는 충분하지 않았습니다. 이 때 제게 매스매티카는 나의 요구사항을 잘들어줄 수 있을까 고민하였고 도전을 해보기로 마음을 먹었습니다.

제가 계산 기능을 갖추고 있는 매스매티카에 대해 처음 들어본 것은 대학교 학부 시절이므로 20년이 이제는 넘었습니다. 그리고 매스매티카(13.1버전)를 직접 접하고 책을 사서 탐독하면서 코드를 익힌 것은 이제 갓 1년이 조금 넘었습니다. 처음에는 이장훈 선생님이 편찬하신 두꺼운 메뉴얼을 펴놓고 무작정 순서대로 읽어나가면서 PC를 통해 매스매티카 코딩을 입력하며 느리지만 한 걸음씩 익혀나갔습니다. 궁금한 것이 생기면 다한테크 황지원 부장의 고마운 도움을 받기도 하였습니다. 매스매티카 실력자 분들의 다양한 작품이 수록된 Wolfram Demonstrations Project 를 처음 접하고 부족한 내 실력을 비교하면서 절망하기도 하였습니다. 하지만 이장훈 선생님의 책에 수록된 코드작품과 친절한 설명을 하나하나 분석하고 파헤쳐 가며 코드를 단계적으로 익히고 마침내 간단한 여러 가지 코드를 짤 수 있게 되었습니다. 매스매티카의 문법이 한국의 중고등학교 수업 현장에서 자주 사용되는 여타 애플리케이션에 비해 어렵다는 것이 사실입니다. 하지만 매스매티 카의 문법은 명료하기 때문에 일단 익히고 나면 정말 놀라울 정도로 다양한 함수를 애매함이 없이 깔끔하게 만드는 것이 가능하다는 것과 이상적분이나 무한급수의 합 및 무한곱에서 파이나 자연상수 등이 포함된 값을 명확히 출력하는 계산 기능을 고려하면 매스매티카는 충분히가 아니라 상당히 매력적인 툴입니다.

또한 매스매티카에서 내장하고 있는 여러 가지 특수함수를 보며 매스매티카는 대학이나 연구소에서만 사용하는 것이 아닌 학문 탐구를 즐기는 성향을 가진 고등학생과 중고등학교 교사들 또한 학습하고 연구할 때 사용하기에는 안성맞춤이라는 것을 느끼게 되었습 니다. 매스매티카를 익히면서 처음에는 비선형 미분방정식으로 나타내어지는 물리 현상의 해에 대해 그래프를 그리고 시간에 따른 추이를 동영상으로 시연하는 것에 집중하였지만 차츰 랜덤 추출기능을 활용한 통계분석에서 시작하여 최근 인공지능 수학에서 주로 다루는 경사하강법을 이용한 최소다항식 문제에 이르기까지 다양한 주제에 관심을 가지게 되어 관련 수학적 내용을 담고 코드를 참조하거나 본인이 직접 코드를 작성하여 이 책을 펴냈습니다. 이 책은 크게는 점화식풀기, 방정식풀기, 미분방정식풀기, 다양한 물리수학코드, 다양한 함수기능 소개로 이뤄져 있습니다.

1권과 2권을 굳이 차례대로 읽을 필요없이 눈길이 가는 주제부터 읽고 모르는 함수기능이 있다면 함수기능 소개 부분을 병행하여 읽고 참조하면 되도록 책을 구성하였습니다. 그리고 이론을 소개하면서 그래픽을 추가하기도 했는데 일부는 알지오매스 툴로 제작하였습니다. 매스매티카 프로그램은 Wolfram미국 본사의 공식 한국 대리점인 ㈜ 다한테크를 통해 구매할 수 있습니다. 공자가 말하기를 〈아는 자는 좋아하는 자만 못하고 좋아하는 자는 즐기는 자만 못하다〉 에 대해 들어보신 분이 많을 것입니다. 이 책을 통해 학구적 성향을 가진 독자들이 매스매티카 코딩으로 수학과 물리 놀이를 즐기면서 자신의 탐구 역량을 키워나갈 수 있길 바랍니다.