필수정보

수학에 대한 대중의 관심은 의심할 여지없이 증가하고 있다. 아마도 이것은 수학이 응용 과학이 될 수 없는 도구라는 사실 때문일 것이다. 다른 한편으로, 수학의 추상적인 측면은 일상 활동에서 인간 방정식의 복잡성에 지쳐서 여가를 수학 방정식의 단순성으로 바꾸는 사람들을 크게 끌어 들이기 시작했다. 이 책이 쓰여진 것은 이 사람들을 위한 것이다. 사실, 미래의 독자들에게는 오직 두 가지, 즉 수학에 대한 기초 훈련과 수학적인 문제에 대한 관심이 필요하다. 이 두 가지 전제 조건은 이 책의 1장부터 9장을 이해하기에 충분하다. 마지막 장인 10장은 더 많은 수학 지식을 갖춘 독자를 위해 특별히 설계되었다.

수학에서 다루는 모든 문제들 중에서, 수수께끼는 가장 매력적이고 교훈적인 것이다. 수학 수수께끼의 매력은 한 두 마디로 말하기 어렵지만, 일반적으로 ‘정밀한’ 과학이라고 생각하는 것에서 ‘모순’이 완전한 놀라움으로 다가온다는 사실이다. 그리고 수학 수수께끼는 언제나 교훈적인 것으로, 골치 아픈 추론의 선을 푸는 것은 수학의 근본 원리에 대한 면밀한 조사를 필요로 한다. 이러한 주장에 비추어 볼 때, 아마추어와 전문가 모두 수학자들이 당황하는 일부 수수께끼만을 전담하는 책을 꺼낼 가치가 있다.

머리말 i
역자 서문 ii
목차 iii

1장 패러독스란 무엇인가? 1

두 명의 아버지와 두 명의 아들로 구성된 3명 1
책 벌레 1
거짓말을 하고 있는가 참말을 하고 있는가? 1
육지인가 호수인가? 2
수학적 관점 2

2장 어렵긴 하지만 재미있는 간단한 문제들 4

북극의 지리적으로 특이한 성질 4
초보 곰 사냥꾼 문제 5
시계 선택하기 문제 6
보석 가게에서 손님의 황당한 주장 6
일당 150달러 7
7명 여행객의 호텔 투숙 7
호텔 비용 패러독스 8
두 나라의 이상한 환율 거래 8
부유한 늙은 아랍인의 유서 9
봉급을 1년 마다 인상할 것인가? 아니면 6개월 마다 인상할 것인가? 10
15와 45의 평균은 항상 30이 아니다. 11
바구니 속에 없는 절반의 계란 15
우유와 물 15
큰 인디언과 작은 인디언 17
형제자매 17
가족 모임 18
피가 석이지 않은 형제들의 유령 같은 아버지 18
합법적인가 불법적인가? 19
동시에 삼촌과 조카인 상황 19

3장 작은 수 2의 거대함과 경이로움 21

어떤 큰 수들 21
10억은 얼마나 큰 수일까? 21
큰 수의 간단한 표현 22
네 개의 2로 얼마나 큰 수를 만들 수 있을까? 23
가계도 23
연쇄 편지 24
종이 더미 높이 25
하노이 탑과 지구 종말 예언 26
너무나 많은 밀 27
알려진 가장 큰 소수 28
정수론과 관련된 몇 가지 28
페르마 소수 28
원 분할하기 30
완전수 32
숫자 표기법 32
이진법 32
간단한 곱셈법 35
항상 이기는 게임 36
마음을 읽는 9가지 방법 41

4장 보이는 것이 틀렸을지도 모른다. 47

착시 현상 47
피보나치 수열 49
넓이를 늘리기 위해서 사각형을 잘랐다. 49
식물 잎의 배열 51
황금비 52
해바라기 머리 54
동적 대칭 55
원과 관련된 몇 개 패러독스 56
원 굴리기 56
석판과 롤러 57
폭이 같은 곡선 57
크기가 다른 두 원의 원둘레 길이가 같을 수 있는가? 60
놀라운 사이클로이드 성질 62
위상적 호기심 64
쾨니히스베르그 문제 65
내부에 있는가? 외부에 있는가? 67
클라인 병 70
뫼비우스 띠 71
매듭이 지어지는가? 매듭이 지어지지 않는가? 73
4 색 문제 75

5장 0으로 나누지 말아라! 79

공리의 남용 79
잘못된 소거 82
증가 또는 감소? 83
-1〉1? 85
0으로 나누기 85
0으로 나누기 변형 89
비율(분수)의 고유한 성질 90
방정식의 모순 92
양수와 음수 부호 95
어떤 수는 그 자신보다 1만큼 크다. 96
부등식 97
어떤 수는 그 자신보다 크다. 98
1/8은 1/4보다 크다. 98
허수 99
1=-1인 두 가지 사례 100

6장 보이는 것을 믿지 말아라! 102

모든 삼각형은 이등변삼각형이다. 102
직선 위에 있지 않은 점으로부터 직선까지 수선이 2개 106
직각은 직각보다 크다. 108
45^?는 60^?와 같다. 109
사각형 두 대변의 길이가 같으면, 이 두 변은 평행하다. 111
원의 모든 내부 점은 원주 위에 있다. 113
다시 0으로 나누기 115
주어진 선분과 주어진 선분의 일부와 같다. 117
두 개의 선분 길이의 합은 0이다. 119
유사성에 의한 추론 120
구면 삼각형의 세 내각의 합은 180^?이다. 123
평면 위의 한 점에 수직인 직선의 수가 많다. 123

7장 한계를 벗어나는 127

대수 속 무한 127
무한 집합 127
움직이는 것은 불가능하다. 129
아킬레스와 거북이 132
무한 급수의 수렴과 발산 132
진동하는 급수 134
단순 수렴과 절대 수렴 136
어떠한 원하는 수로의 급수의 합 138
기하학 속 무한 142
한 점과 선은 같다. 142
평행 공리 증명 143
걷잡을 수 없는 곡선 146
세 가지의 현혹된 극한 곡선 146
유한한 넓이와 무한한 길이 151
영역을 채우는 곡선(an area-filling curve) 152
모든 점은 교점이다. 153
정말로 세 개의 이웃한 영역 155
무한의 연산 157
무한 집합의 비교 157
세기와 일대일 대응 158
자연수 기수 A_1 159
전체는 그 자신의 부분과 같다. 161
유리수의 원소 개수도 역시 A_1이다. 161
실수 집합의 기수 C 164
1 인치는 20,000 리그와 같거나 그 이상이다. 167
평면 위의 점과 전체 공간 안의 점과 단위 선분 위의 점의 개수는 같다. 168
연산의 기이한 시스템 170

8장 확률이란 무엇인가? 172

도박꾼 문제에서 확률의 탄생 172
동전의 앞면, 뒷면 또는 가장자리? 173
확률의 측정 174
실증적인 예 175
달랑베르(DAlembert) 오류 177
비슷한 문제들 178
구슬 게임 179
베르트랑 상자 역설 180
무작위로 잡은 점 182
알 수 없는 소수(prime number)? 184
더 많은 무작위 점들 184
한 사건에 대해 여러 확률로 일어날 수 있는 사건들 187
부피와 밀도 187
원 안에 있는 현 188
공간에서 임의의 평면, 구면 위의 임의의 점 190
화성에서의 살아남는 패러독스 192
기상 케스터 193
상트 페테르부르크(St. Petersburg) 패러독스 194
룰렛에서 이기는 두 가지 힌트 198
검은색 또는 흰색? 199

9장 악순환 202

수학과 논리에 관한 러셀 202
에피메니데스와 거짓말쟁이 202
모든 규칙에는 예외가 있다. 203
골치 아픈 법률 문제 204
이발사를 정의하여라. 204
최소 정수 문제 205
자기술어적 그리고 비자기술어적 205
악순환인 자연수 206
논리적 유형 이론 207
가장 큰 무한 수 또는 가장 크지 않은 무한 수 208
자기 자신의 원소가 아닌 모든 집합의 집합 208
리처드 패러독스 210
수학 기초의 최근 동향 211

10장 초보자가 아니다. 213

기하학과 삼각법 213
해석 기하학 222
미분법 225
적분법 229
허수 233

참고 문헌 237

이 책의 자료는 다양한 책과 논문을 참고하였다.

그 중 일부는 벨(Ball)의 수학 레크리에이션과 에세이 (Mathematical Recreations and Essays), 스테인하우스의 수학적 스냅샷 (Steinhaus Mathematical Snapshots), 카스너와 뉴먼의 수학과 상상력 (Kasner and Newmans Mathematics and the Imagination)과 같이 다른 인기 있는 수학 박람회에서 자연스럽게 소개되었다. 단지 세 곳만 언급하였다. 이것이 잘못이라면, 그것은 저자의 잘못이 아니라, 자료에 대한 것이다. 대부분의 경우 원본 출처에 대해서 참고문헌을 실으려고 노력하였다. 그러나, 특히 다른 형태의 동일한 문제가 여러 곳에서 발견되는 경우에 항상 주석을 달지 않았을 수도 있다.

국내에는 수학 수수께끼에 관련된 책은 여러 권 나와있으나 수학을 중심으로 한 수수께끼를 정리한 책은 전무한 상태이다. 출판된 수학 수수께끼 책들도 그 안에는 수식이 거의 전무하고 단지 논리적으로만 설명하려고 하여 읽는 독자들이 매우 어려움을 느낀다.

역자는 ‘수학 패러독스’ 라는 책을 저술하였는데 일부 이 책의 내용도 일부 참고하였고 수학사에서 유명한 패러독스만 다루었다. 그러나 이 책처럼 수학 전반에 걸쳐 다룰 수가 없었다. 자료를 찾고 수집하기가 그리 쉽지 않을 뿐만 아니라 이렇게 좋은 책이 이미 존재하여서 새로이 저술할 생각을 접었고, 그 대신 이 책을 아예 번역을 하기로 마음을 먹었다. 번역을 시작 한지 1 년의 시간이 지나 번역을 완결하여 출간하게 되었다.

새로운 수학을 만들고 이에 대해 수학적 전개를 할 때 수학의 개념에 대해 고뇌하고 이를 해결하기 위해 얼마나 많은 부단한 노력이 있었는지 모른다. 이러한 부산물로 나온 것이 패러독스이다. 이러한 것을 중고등학교에서 사용해도 좋은 자료들이 너무 많이 있다. 수업 내용으로도 손색이 없을 정도이니 이 책을 참고하여 활동 중심의 수학 수업을 하였으면 하는 마음이다.